Question

在平面直角坐标系xoy中，点B与A（-1，1）点关于原点O对称，P为动点，且直线AP与BP的斜率之积等于−12．

Answer 1

解题思路：（I）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设出点P的坐标，求出直线方程，从而可得M，N的坐标，根据AN∥BM，直线AP与BP的斜率之积等于

−

1

2

，即可求得结论．

（I）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．

设点P的坐标为（x，y），则

∵直线AP与BP的斜率之积等于−

1

2，

∴[y−1/x+1•

y+1

x−1＝−

1

2]

化简得x²+2y²=3（x≠±1）．

故动点P轨迹方程为x²+2y²=3（x≠±1）；

（Ⅱ）设点P（a，b），则直线AP：y=[b−1/a+1x+

a+b

a+1]

直线BP：y=[b+1/a−1x+

a+b

−a+1]

直线AP、BP分别与直线x=3交于点M、N，

所以，点M（3，[4b+a−3/a+1]），点N（3，[2b−a+3/a−1]）

因为AN∥BM，所以[2b+a−3/a+1]=[b−a+2/2a−2]，所以a=[5/3]

因为直线AP与BP的斜率之积等于−

1

2，

所以[b−1/a+1•

b+1

a−1＝−

1

2]，所以b=-[1/3]或者b=[1/3]

所以，存在点P （[5/3]，[1/3]）或者（[5/3]，-[1/3]）

点评：

本题考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．