等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AC上,且BD=1/3BC,CE=1/3CA,AD,BE相交于点P,求证:AP垂

1个回答

  • 我的证明有些笨拙,希望您能耐心看完.

    取AB上一点F,使3AF=AB,这样就形成了十分对称的图形,

    设BE与CF交于M,AD与CF交于N.

    第一步,

    ∠PNM

    =∠PAC+∠FCA

    =∠PAC+∠BAD

    =∠BAC

    =60度.

    第二步,

    过F作FG//AC交BE于G,

    则GM/ME

    =FM/MC

    =FG/EC

    =FG/[(1/2)AE]

    =4/3,

    又FG/AE

    =BG/BE

    =2/3,

    所以BM/ME

    =[2+(4/7)]/[1-(4/7)]=6,

    即BM=6ME.

    又BP/PE

    =MC/MF

    =3/4,

    所以容易得BP:PM:ME=3:3:1,

    根据图形的对称性,得

    CM:MN:NF=3:3:1,

    并且MN=PN,

    所以

    PN:NC=3:(3+3)=1:2,

    又∠PNC=60度,

    所以可以得到

    ∠APC=90度.

    即AP⊥PC.

    得证.

    这个方法确实比较笨拙,但希望你能看懂理解.