解题思路：首先利用根与系数的关系、及a，b，c均为正整数，得到9a2-8b≥0．因为x是正整数所以设9a2-8b=s2，将其变形为（3a+s）×（3a-s）=8b．再就因数的积等于8b即（3a+s）×（3a-s）=8b=1×8b=2×4b=4×2b=8×b分8种情况讨论a、b、c，的符合条件的取值，进而求得x的取值．
x2-3ax+2b=0可知a，
△=（-3a）2-4×2b=9a2-8b≥0，
因为x是整数，所以设9a2-8b=s2，
（3a+s）×（3a-s）=8b=1×8b=2×4b=4×2b=8×b，
讨论：（1）、（3a+s）×（3a-s）=1×8b，
3a+s=1 ①，
3a-s=8b ②，
①+②得 6a=1+8b，
同理可得 6b=1+8c，6c=1+8a，
∴a+b+c=−
3
2＜0（不符合已知条件），
（2）、（3a+s）×（3a-s）=8b*1，
3a+s=8b ①，
3a-s=1 ②，
①+②得 6a=1+8b，
同理可得 6b=1+8c，6c=1+8a，
∴a+b+c=−
3
2＜0（不符合已知条件），
（3）、（3a+s）×（3a-s）=2×4b，
（3a+s）=4b ①，
（3a-s）=2 ②，
①+②得 6a=2+4b，即3a=1+2b，
同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，
解得 a=b=c=1，x=1，2，
（4）、（3a+s）×（3a-s）=2×4b，
（3a+s）=2 ①，
（3a-s）=4b ②，
①+②得 6a=2+4b，即3a=1+2b，
同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，
解得a=b=c=1，x=1，2，
（5）、（3a+s）×（3a-s）=4×2b，
3a+s=4 ①，
3a-s=2b ②，
①+②得 6a=4+2b，即3a=2+b，
同理可得 3b=2+c，3c=2+a，
解得 a=b=c=1，x=1，2，
（6）、（3a+s）×（3a-s）=4×2b，
3a+s=2b ①，
3a-s=4 ②，
①+②得 6a=4+2b，即3a=2+b，
同理可得 3b=2+c，3c=2+a，
解得 a=b=c=1，x=1，2；
（7）、（3a+s）×（3a-s）=8×b，
3a+s=8 ①，
3a-s=b ②，
①+②得 6a=8+b，
同理可得 6b=8+c，6c=8+a，
∴a+b+c=[8/5]，可见a、b、c至少一个不是整数，不符合已知条件；
（8）、（3a+s）×（3a-s）=8×b，
3a+s=b ①，
3a-s=8 ②，
①+②得 6a=8+b，
同理可得 6b=8+c，6c=8+a，
∴a+b+c=[8/5]，可见a、b、c至少一个不是整数，不符合已知条件；
答：当a=b=c=1时，x=1或2．
点评：
本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系．
考点点评： 本题考查一元二次方程的整数根与有理根、根与系数的关系、因式分解．解决本题的关键是利用根与系数的关键首先形为（3a+s）×（3a-s）=8b，进而分类讨论．