Question

如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1的直观图（图1）和三视图（图2），底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由三视图直接判断平面AA1D1D与平面ABCD的位置即可．（Ⅱ）直接利用平面与平面的垂直，说明直线与平面垂直，然后利用直线与平面的判定定理证明BC⊥平面MNBB1，（Ⅲ）利用三垂线定理作出二面角的平面角，通过在天津求出有关数据，然后求解二面角A1-AB-D的正切值．

（Ⅰ）由俯视图可知，侧面AA₁D₁D在底面的射影是一条线段，

所以平面AA₁D₁D与平面ABCD垂直．

（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，

M、N分别为A₁D₁、AD的中点．

所以NB⊥AD，则NB⊥BC，

由（Ⅰ）可知平面AA₁D₁D⊥平面ABCD，

所以N₁N⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD垂直，

所以BC⊥N₁N，又N₁N∩NB=N，

所以BC⊥平面MNBB₁

（Ⅲ）过A₁作A₁O⊥平面ABCD于O，过O作OP⊥AB于P，

连结A₁P，由三垂线定理可知，∠A₁PO为二面角A₁-AB-D的平面角，

底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，M、N分别为A₁D₁、AD的中点．

所以AO=[1/2]，OP=

3

4，所以所求二面角的正切值为：

1

2

3

4=

2

3

3．

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；简单空间图形的三视图；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查三视图的应用，直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查计算能力，空间想象能力．