Question

设函数f(x)=-13x3+x2+(a2-1)x，其中a＞0．

Answer 1

解题思路：（1）求导函数，利用函数y=f（x）在x=-1处取得极值，可得f′（-1）=0，求出a的值，检验可得结论；

（2）先确定

-

1

3

x

2

+x+

a

2

-1

=0有两个相异的实根x₁、x₂，再进行分类讨论，利用对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，即可求a的取值范围．

（1）求导函数，可得f′（x）=-x²+2x+（a²-1）

∵函数y=f（x）在x=-1处取得极值，

∴f′（-1）=0

∴-1-2+（a²-1）=0

∴a=±2

经检验，a=2符合题意；

（2）由题意，f(x)=-

1

3x3+x2+(a2-1)x=x（-

1

3x2+x+a2-1）=-

1

3x(x-x1)(x-x2)

∵函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，

∴-

1

3x2+x+a2-1=0有两个相异的实根x₁、x₂，

∴△=1+[4/3(a2-1)＞0，∴a＜-

1

2]（舍去），或a＞[1/2]

且x₁+x₂=3

∵x₁＜x₂，∴2x₂＞x₁+x₂=3，∴x₂＞[3/2]＞1

①若x₁≤1＜x₂，则f（1）=-

1

3(1-x1)(1-x2)≥0，而f（x₁）=0，不符合题意；

②若1＜x₁＜x₂，则对任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₁≥0，x-x₂≤0，

∴f(x)=-

1

3x(x-x1)(x-x2)≥0

又f（x₁）=0，∴f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0

∴对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，等价于f（1）=a2-

1

3＜0

∴-

3

3＜a＜

3

3

综上可得a的取值范围为(

1

2，

3

3)．

点评：

本题考点： 根据实际问题选择函数类型；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．