Question

在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,AB=kAC.试证明A

Answer 1

（1）AE=EF；

证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H．

则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,

∵AB=BC=AC,∴∠BAC=∠ACB=60°,

∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°,

∴EH=EC．

∵AD‖BC,∴∠FCE=180°-∠B=120°,

又∠AHE=180°-∠BAC=120°,

∴∠AHE=∠FCE,

∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,∴∠EAC=∠EFC,

∴△AEH≌△FEC,

∴AE=EF；

（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化．

证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H,则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,

∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB

∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC

∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°．

∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF

∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,

∴∠EAC=∠EFC,

∴△AEH≌△FEC,

∴AE=EF；

（3）猜想：（1）中的结论发生变化．

证明：过点E作EH‖AB交AC于点H．

由（2）可得∠EAC=∠EFC,

∠AHE=∠DCB=∠ECF,

∴△AEH∽△FEC,

∴AE：EF=EH：EC,

∵EH‖AB,

∴△ABC∽△HEC,

∴EH：EC=AB：BC=k,

∴AE：EF=k,

∴AE=kEF．