Question

过点P(2,4)作圆x^2+y^2=2的两条切线,切点为A,B求经过A,B和P的圆的方程和切线|PA|的长

Answer 1

x?+y?=2的圆心O为(0,0)OA=√2,OP=√(2?+4?)=2√5PA?=√(OP?-OA?)→PA=√(20-2)=√18=3√2设切点为(a,b)PA?=(2-a)?+(4-b)?=18→展开得a?+b?-4a-8b+2=0...①OA?=a?+b?=2...②②-①:4a+8b-2=2→b=(4-4a)/8代入②中,解a?+[(4-4a)/8]?=2a=-1或a=7/5,再代入②中解b=1或b=-1/5∴A点为(-1,1),B点为(7/5,-1/5)求圆的方程,有两种方法,第一种:解三元一次方程:设圆的一般式方程为x?+y?+Dx+Ey+F=0分别将A,B,P点代入x和y中得三个方程2-D+E+F=02+(7/5)D-(1/5)E+F=020+2D+4E+F=0解得D=-2,E=-4,F=0∴圆的方程为x?+y?-2x-4y=0配方得(x-1)?+(y-2)?=5,半径为√5第二种:由于A和B到圆心C的距离相等,设圆心C为(h,k),所以AC=BC√[(-1-h)?+(1-k)?]=√[(7/5-h)?+(-1/5-k)?]得k=2h...③再代入上述两个式子随便一个√(-1-h)?+(1-2h)?]=√5得h=1或h=-3/5代入③得k=2或k=-6/5,但(-3/5,-6/5)不符合经过圆心的方程OP∴圆心为(1,2)∴圆的方程为(x-1)?+(y-2)?=5