已知函数y=f(x)是定义在R上恒不为0的单调函数,对任意的x,y∈R,总有f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列{

1个回答

  • 解题思路:首先求出特殊值f(0),然后结合f(x)f(y)=f(x+y)把已知条件变形为an+1与an的关系式,进一步整理得数列{an+3n+1}为等比数列,再运用等比数列通项公式求得an,最后分别运用等比数列前n项和公式求得Sn

    因为任意的x,y∈R,总有f(x)f(y)=f(x+y)成立,

    所以f(0)f(0)=f(0),即f(0)•(f(0)-1)=0,

    解得f(0)=1,即a1=1,

    又f(an+1)•f(3n+1-2an)=1,即f(an+1+3n+1-2an)=f(0),

    所以an+1+3n+1-2an=0,

    则an+1+3n+1+2×3n+1=2an+2×3n+1,,即

    an+1+3n+2

    an+3n+1=2,

    所以数列{an+3n+1}是首项为10,公比为2的等比数列,

    则an+3n+1=10×2n-1,即an=5×2n-3n+1

    所以Sn=5×

    2(1−2n)

    1−2-

    32(1−3n)

    1−3=5×2n+1−

    3n+2+11

    2.

    故答案为5×2n+1−

    3n+2+11

    2.

    点评:

    本题考点: 等比数列的前n项和.

    考点点评: 本题主要考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式,同时考查函数的单调性等.