Question

已知a1,a2...an为两两不相等的正整数,求证对于任意正整数n,不等式a1+a2/2^2+a3/3^2+...+an

Answer 1

a1到an由于两两不相等,考虑最小的a1到an则是1到n的集合

那么a1,a2.an则是1,2,3.n的一个乱序排列

n>(n-1)>(n-2).>1

1/n^2 < 1/(n-1)^2 < 1/(n-2)^2 < .< 1

由乱序和大于逆序和

所以

a1+a2/2^2+a3/3^2+...+an/n^2≥ n/n^2 + (n-1)/(n-1)^2 + ...+ 1 = 1+1/2+..+1/n