首先要理解浮力产生的原因.有一定体积的物体在水中受到浮力的作用,本质上是水分子在物体表面各个点撞击产生压力的合力.这些压力的合力最终不为0,而是指向水压减小的方向.
分析球的受力,无外乎是受到向下的重力mg、向上的大气压力、水的压力和洞口边沿的支持力N.
大气压力是不必考虑的,因为容器水面是通大气的,属于“自由液面”,在小尺度上,对于整个系统来说,上下的大气压相互抵消.
水的压力其实就是统称的浮力,只不过这个浮力需要进一步分析.你可以想象水分子是垂直压向球表面的.因为R＞r,球的大部分在水里,所以从缝隙里突出到水中的一部分,正为小球浮起提供了可能.
根据阿基米德原理,小球浸入水中的部分会受到浮力作用,公式是f=ρgV,V是球的排水体积,ρ是水的密度.但是要注意,小球浸入水中的部分是个球缺,这部分球缺并非四面有水,其与洞口相切的那个面,面积是πr²,是不受水压的.那么我们假设这个面也有水包围,也就是说把这个实心球的上半部分切下来,没进水里,它受到的浮力才能用f=ρgV计算.
小球尚未上浮时,实际受到水的压力,要比假设中上半部分球缺受到的浮力少一部分,这少了的一部分,正是假设洞口面也接触水,水对这个πr²面的压力.这个压力垂直于πr²面,竖直向上.
综上,小球受的力,为竖直向下的重力mg,受洞口沿向上的支持力N,以及水压力的合力F.水压力的合力F起初是向下的,这样才能把小球压在洞口上.随着水面下降,水深减小,F逐渐减小；当F减小到0时,支持力N=重力mg；继续下去,水压力F的方向变为向上,洞口边沿的支持力逐渐减小.此时的水压力,才是名副其实的“浮力”.而根据上面的分析,这个浮力F并不是f=ρgV,而是（当它向上的时候,大小等于）F=ρgV-ρghπr².后面这个ρghπr²,正是前面假设的水对洞口圆面πr²向上的压力.
当水压力F等于重力mg的时候,支持力N=0,便是临界点.之后小球将上浮.
所以平衡状态的关系是：
ρgV-ρghπr²=mg
用积分可以求球缺的体积：
V=πH²(R-H/3)
其中H为球缺的高,在这道题里
H=√(R²-r²)
代入即可求得h.