Question

已知圆C圆心坐标为（3，1），且圆C与直线3x+4y+2=0相切．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用圆C与直线3x+4y+2=0相切，根据点到直线的距离公式求出半径，即可求圆C的方程；

（Ⅱ）先把直线与圆的方程联立消去y，因为OM⊥ON得到x₁x₂+y₁y₂=0，然后利用根与系数的关系求出a即可．

（Ⅰ）根据题意设所求圆C的方程为：（x-3）²+（y-1）²=r²（r＞0），

则由圆C与直线3x+4y+2=0相切得：d＝

|3•3+4•1+2|

32+42＝3＝r，

∴所求圆C的方程为：（x-3）²+（y-1）²=9…（5分）

（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则联立方程得方程组：

x−y+a＝0

(x−3)2+(y−1)2＝9

消去y整理得方程：2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0⇒

△＝56−16a−4a2＞0

x1+x2＝4−a

x1•x2＝

a2−2a+1

2

∵OM⊥ON，

∴x₁x₂+y₁y₂=0，

∴x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=0，

∴2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0，

∴2•

a2−2a+1

2+a•(4−a)+a2=0，

∴a=-1．

经检验，a=-1满足△＞0，故a=-1为所求…（12分）

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题是一道直线与圆的方程的综合题，主要考查学生对圆标准方程的认识，会利用根与系数的关系解决数学问题．