定义在R上的函数f(x+2)+f(x)=0,且y=f(x-1)是奇函数,给出下列命题:①函数y=f(x)的最小正周期是2

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  • 解题思路:由f(x+2)+f(x)=0可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则该函数的周期为T=4,又有函数f(x-1)为奇函数,说明函数f(x)应该有对称中心(-1,0),即f(-2-x)=-f(x)符合点对称的定义从而可求解.

    由f(x+2)+f(x)=0,即f(x+2)=-f(x)可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期T=4,所以①错;

    又∵函数f(x-1)为奇函数,即函数f(x)向右移一个单位以后关于(0,0)对称,∴平移之前的图象应该关于(-1,0)对称,故②正确;

    ∵f(x+2)=-f(x)且f(x-1)=y为奇函数,

    ∴f(x+2)=-f(x),f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x+1),

    点评:

    本题考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质.

    考点点评: 此题考查了函数的周期定义及利用定义求函数的周期,还考查了函数的对称及与图象的平移变换,还考查了复合函数的奇函数的定义式.,通过抽象函数中一些主条件的变形,来考查函数有关性质,方法往往是紧扣性质