已知函数f(x)=[1/2]x2+lnx+(a-4)x 在(1,+∞)上是增函数.

1个回答

  • 解题思路:(1)求导函数,根据函数f(x)=[1/2]x2+lnx+(a-4)x 在(1,+∞)上是增函数,可得

    x+

    1

    x

    +a−4

    ≥0在(1,+∞)上恒成立,分离参数,利用基本不等式,即可确定实数a的取值范围;

    (2)设t=ex,则g(t)=t2-2a+a=(t-a)2+a-a2,1≤t≤3,再分类讨论:①2≤a≤3;②a≥3,即可得到结论.

    (1)求导函数,可得f′(x)=x+

    1

    x+a−4

    ∵函数f(x)=[1/2]x2+lnx+(a-4)x 在(1,+∞)上是增函数

    ∴x+

    1

    x+a−4≥0在(1,+∞)上恒成立

    ∴a≥4−(x+

    1

    x)恒成立

    ∵x+

    1

    x≥2(当且仅当x=1时,等号成立)

    ∴4−(x+

    1

    x)<2

    ∴a≥2

    (2)设t=ex,则g(t)=t2-2a+a=(t-a)2+a-a2

    ∵x∈[0,ln3],∴1≤t≤3

    ①当2≤a≤3时,g(t)最小值为a-a2

    ②当a≥3时,g(t)最小值为9-5a.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,考查二次函数最值的研究,分离参数,利用配方法求二次函数的最值时关键.