Question

如图，已知直线y=-kx+4k（k＞0）与x轴y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C，过A作x轴的垂线AT

Answer 1

解题思路：（1）过P点作PE⊥y轴，垂足为E，由直线AB：y=-kx+4k求A、B两点坐标，得A（4，0），B（0，4k），即直径OA=4，则半径OC=2，在Rt△OMC中，由∠OCM=30°求OM，由切线长定理可知PM=OM，而∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，则∠PME=60°，解直角三角形求PE，EM即可；

（2）过M点作MD⊥AN，垂足为D，则MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN，在Rt△MDN中，由勾股定理求y与x的函数关系式；

（3）由OM=1，利用（2）的函数关系式求AN，再求直线MN的解析式，将直线AB，直线MN的解析式联立求F点的坐标，表示△AFN的面积，由S_△AFM=[1/2]S_梯形OMNA，列方程求k的值．

（1）过P点作PE⊥y轴，垂足为E，

∵直线ABy=-kx+4k，∴A（4，0），B（0，4k），

∴OA=4，OC=2，

在Rt△OMC中，∠OCM=30°∴OM=OC•tan30°=

2

3

3，

由切线长定理可知PM=OM=

2

3

3，

且∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，∴∠PME=60°，

在Rt△PME中，PE=PM•sin60°=1，EM=PM•cos60°=

3

3，

∴OE=OM+ME=

2

3

3+

3

3=

3，即P（1，

3）；

（2）过M点作MD⊥AN，垂足为D，

∵MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN=x+y，DN=AN-AD=AN-OM=y-x，

在Rt△MDN中，MD²+DN²=MN²，即4²+（y-x）²=（x+y）²，

整理，得y=

点评：

本题考点： 一次函数综合题．

考点点评： 本题考查了一次函数的综合运用．关键是明确一次函数点的坐标的求法和三角形、梯形面积的求法．