1.数列｛an｝中a1=1,当n≥2时其前n项和Sn满足Sn^2=an(Sn-1/2),求｛an｝的通项公式.
由于an=Sn-S(n-1)
那么(Sn)^2=[Sn-S(n-1)][(Sn)-(1/2)]
然后有Sn+2S(n-1)*Sn-S(n-1)=0
那么Sn=S(n-1)/[1+2S(n-1)]
那么1/Sn=[1/S(n-1)]+2
那么1/Sn-1/S(n-1)=2
而S1=a1=1
所以1/S1=1
那么1/Sn=1/S1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=[1/(2n-1)]-[1/(2n-3)]=-2/[(2n-1)(2n-3)]
2.已知函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且对任意x∈R有f(x)+g(x)=a^x(a≥0且a≠1)
求证f(2x)=2f(x)×g(x)
证明:f(x)+g(x)=a^x..①
那么f(-x)+g(-x)=a^(-x)
由于f(x)为奇函数,g(x)为偶:-f(x)+g(x)=a^(-x).②
两式相加:g(x)=[a^x+a^(-x)]/2
相减:f(x)=[a^x-a^(-x)]/2
f(2x)=[a^2x-a^(-2x)]/2=[a^x-a^(-x)][a^x+a(-x)]/2=2f(x)*g(x)