在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB1⊥BC1,求证:AB1⊥A1C

1个回答

  • 设D为BC的中点,连结AD、B1D.设E为AB的中点,连结CE、A1E.

    因为三角形ABC是正三角形,所以AD⊥BC.

    由正三棱柱的性质可知,平面ABC⊥平面BB1C1C.

    又平面ABC交平面BB1C1C=BC,所以AD⊥平面BB1C1C.

    即B1D是AB1在平面BB1C1C上的射影.

    同理,A1E是A1C在平面AA1B1B上的射影.

    因为AB1⊥BC1,所以由三垂线逆定理可知,B1D⊥BC1.

    设E为AB的中点,连结CE、A1E.

    因为长方形AA1B1B全等长方形BB1C1C,所以A1E⊥AB1.

    由三垂线定理可知,AB1⊥A1C.