Question

在棱长为1的正方体上ABCD---A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,F是棱CD的动点(1）确定F位置使D1E垂直于平

Answer 1

（1）连结A1B,则A1B是D1E在面ABB1A内的射影

∵AB1⊥A1B,

∴D1E⊥AB1,

于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF

连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影

∴D1E⊥AFDE⊥AF

∵ABCD是正方形,E是BC的中点

∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,

即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.

（2）当D1E⊥平面AB1F时,由（1）知点F是CD的中点

又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD

连结AC,设AC与EF交于点H,则CH⊥EF,连结C1H,

则CH是C1H在底面ABCD内的射影

C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角

在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=1/4AC=根号2/4,CF=3根号2/4

cos∠C1HC=CH/C1F=1/3