解题思路：（1）要证三角形ABM和MCN相似，就需找出两组对应相等的角，已知了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．
（2）首先根据题意画出图形，易求得∠AHM=∠MCP=135°，∠2+∠3=∠1+∠2=45°，即可得∠1=∠3，然后利用ASA即可证得△AHM≌△MCP，证得AM=PM．
（3）根据（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例关系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的长表示出CM，然后根据比例关系式求出CN的表达式．这样直角梯形的上下底和高都已得出，可根据梯形的面积公式得出关于y，x的函数关系式．然后可根据函数的性质得出y的最大值即四边形ABCN的面积的最大值，以及此时对应的x的值，也就可得出BM的长．
（4）已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即AM：MN=AB：BM，根据（1）的相似三角形可得出AM：MN=AB：MC，因此BM=MC，M是BC的中点．即BM=2．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠AMB+∠BAM=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）AM=PM．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∵AH=MC，
∴BH=BM，
∴∠BMH=∠BHM=45°，
∴∠AHM=135°，
∵AM⊥MN，
∴∠2+∠3+∠BMH=90°，
∴∠2+∠3=45°，
∵∠1+∠2=∠BHM=45°，
∴∠1=∠3，
∵CP是正方形外角平分线，
∴∠PCN=45°，
∴∠PCM=90°+45°=135°，
∴∠AHM=∠MCP，
在△AHM和△MCP中，
∵
∠1＝∠3
AH＝MC
∠AHM＝∠MCP，
∴△AHM≌△MCP（ASA），
∴AM=PM；
（3）∵正方形ABCD边长为4，BM=1，
∴CM=4-1=3，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴[AB/MC＝
BM
CN]，
即[4/3＝
1
CN]，
∴CN=[3/4]，
∴S梯形ABCN=[1/2]（AB+CN）•BC=[1/2]×（4+[3/4]）×4=[19/2]；
∵正方形ABCD边长为4，BM=x，
∴CM=4-x，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴[AB/MC＝
BM
CN]，
即[4/4−x＝
x
CN]，
∴CN=
−x2+4x
4，
∴y=S梯形ABCN=[1/2]（AB+CN）•BC=[1/2]×（4+
−x2+4x
4）×4=-[1/2]x2+2x+8=-[1/2]（x-2）2+10，
∴当x=2时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；
（4）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AM
点评：
本题考点： 相似形综合题；二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想、函数思想与方程思想的应用是解此题的关键．