已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),的离心率为二分之根号三

1个回答

  • (1)因为a>b>0,所以焦点在x轴上

    e=c/a=√(1-b^2/a^2)=√3/2 得出:a=2b

    所以c=√3/2*a=√3b

    根据题意,直线L:y=x±c

    因为椭圆为中心对称图形,所以直线L过左焦点还是右焦点,对结果无影响

    所以不妨设直线L:y=x+c=x+√3b

    x^2/4b^2+(x+√3b)^2/b^2=1

    x^2+4(x^2+2√3bx+3b^2)=4b^2

    5x^2+8√3bx+8b^2=0

    设A(x1,x1+√3b),B(x2,x2+√3b)

    |AB|^2=(x1-x2)^2+(x1+√3b-x2-√3b)^2

    =2(x1-x2)^2

    =2[(x1+x2)^2-4x1x2]

    =2*[(-8√3b/5)^2-4*(8b^2/5)]

    =64b^2/25

    =64

    所以b=5 a=2b=10

    所以椭圆方程:x^2/100+y^2/25=1

    (2)x^2+8√3x+40=0

    (x+4√3)^2=8

    x+4√3=±2√2

    x1=-4√3+2√2 x2=-4√3-2√2

    |OA|=√[x1^2+(x1+5√3)^2]=√(8+48-16√6+8+3+4√6)=√(67-12√6)

    |OB|=√[x2^2+(x2+5√3)^2]=√(8+48+16√6+3+8-4√6)=√(67+12√6)

    根据椭圆的参数方程,设M(10cost,5sint) 0