Question

如图，ABCD是一块边长为2a的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱

Answer 1

（Ⅰ）由水箱的底面边长为2a-2x，高为x，得V=（2a-2x） ²•x=4x•（a-x） ²，

∵

0＜x＜a

x

2a-2x ≤k ∴

0＜x＜a

0＜x≤

2ak

1+2k .

又 a-

2ak

1+2k =

a

1+2k ＞0 ， 0＜x≤

2ak

1+2k ，

∴故定义域为{x| 0＜x≤

2ak

1+2k }．（5分）

（Ⅱ）∵V=4x•（a-x） ²=4x ³-8ax ²+4a ²x，

∴V′=12x ²-16ax+4a ²，

令V′=0，得 x=

a

3 ，或x=a（舍）

若

a

3 ≤

2ak

1+2k ，即 k≥

1

4 时，

∴当 x=

a

3 时，V取得最大值，且最大值为

16

27 a 3 ．

若

a

3 ＞

2ak

1+2k ，即 0＜k＜

1

4 时，V′（x）=12x ²-16ax+4a ²＞0，

∴V在 (0，

2ak

1+2k ] 上是增函数，

∴当 x=

2ak

1+2k 时，V取得最大值，且最大值为

8k

(1+2 k 3 ) a 3 ．

综上可知，当 k≥

1

4 时， x=

a

3 ，水箱容积V取最大值

16

27 a 3 ；

当 0＜k＜

1

4 时， x=

2ak

1+2k ，水箱容积V取最大值

8k

(1+2 k 3 ) a 3 ．（13分）