Question

已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值

Answer 1

解题思路：由函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，知取任何x₂＞x₁，总有f（x₂）＞f（x₁），由函数f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，所以当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．由数列{a_n}是等差数列，a₁+a₅=2a₃，a₃＞0，知a₁+a₅＞0，所以f（a₁）+f（a₅）＞0，f（a₃）＞0，由此知f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒为正数．

∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，

∴取任何x₂＞x₁，

总有f（x₂）＞f（x₁），

∵函数f（x）是R上的奇函数，

∴f（0）=0，

∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数，

∴当x＞0，f（0）＞0，

当x＜0，f（0）＜0．

∵数列{a_n}是等差数列，

a₁+a₅=2a₃，

a₃＞0，

∴a₁+a₅＞0，

则f（a₁）+f（a₅）＞0，

∵f（a₃）＞0，

∴f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒为正数．

点评：

本题考点： 等差数列的性质；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用函数的性质进行解题．