Question

在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1

Answer 1

∵2｛sin［（A＋B）/2］｝^2＋cos2C＝1,　∴2［cos（C/2）］^2＋2（cosC）^2－1＝1,

∴1＋cosC＋2（cosC）^2－1＝1,　∴2（cosC）^2＋cosC－1＝0,

∴（2cosC－1）（cosC＋1）＝0.

显然,在△ABC中,cosC＞－1,　∴cosC＋1＞0,　∴只有cosC＝1/2,　∴sinC＝√3/2.

又a^2＝b^2＋（1/2）c^2,结合正弦定理,容易得到：

（sinA）^2＝（sinB）^2＋（1/2）（sinC）^2＝（sinB）^2＋（1/2）（√3/2）^2,

∴－2（sinA）^2＝－2（sinB）^2－3/4,　∴1－2（sinA）^2＝1－2（sinB）^2－3/4,

∴cos2A＝cos2B－3/4,　∴cos2A－cos2B＝－3/4,

∴2sin（A＋B）sin（B－A）＝－3/4,　∴sinCsin（A－B）＝3/8,

∴（√3/2）sin（A－B）＝3/8,　∴sin（A－B）＝√3/4.