Question

有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙

Answer 1

证明：连接OQ，

∵RQ为⊙O的切线，

∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°，

又∵OB=OQ，OA⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠PQR=∠BPO，

而∠BPO=∠QPR，

∴∠PQR=∠QPR，

∴RP=RQ；

变化一： 证明：

∵RP=RQ，

∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，

又∵OB=OQ，OA⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠OQB+∠PQR=90°，

即∠OQR=90°，

∴RQ为⊙O的切线；

变化二． （1）若OA向上平移，变化一中的结论还成立；

（2）原题中的结论还成立．

理由：连接OQ，

∵RQ为⊙O的切线，

∴∠OQR=90°，∠BQO+∠RQP=90°，

又∵OB=OQ，OA⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠RQP=∠BPO，

∴RP=RQ；

（3）原题中的结论还成立，如图．