解题思路：（1）利用函数的奇偶性的定义即可判断出；
（2）先对x＞0时利用导数得出单调性，再根据函数的奇偶性可以得出x＜0时的单调性；
（3）通过分离参数k，利用导数即可求出此时函数的极值即最值，从而可得出k的取值范围．
（1）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}．
∵f（-x）=（-x）2ln|-x|=x2ln|x|=f（x），∴函数f（x）为偶函数．
（2）当x＞0时，f（x）=x2lnx．
∴f′(x)＝2xlnx+x2×
1
x=2x(lnx+
1
2)，
令f′（x）=0，解得x＝e−
1
2．
若0＜x＜e−
1
2，则f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
若x＞e−
1
2，则f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
再由函数f（x）是偶函数，当x＜0时的单调性如下：
函数f（x）的单调递增区间是(−e−
1
2，0)；单调递减区间是(−∞，e−
1
2)．
综上可知：函数f（x）的单调递增区间是(−e−
1
2，0)，(e−
1
2，+∞)；
单调递减区间是(0，e−
1
2)，(−∞，e−
1
2)．
（3）由f（x）=kx-1，得xln|x|+
1
x＝k，
令g（x）=xln|x|+
1
x．
当x＞0时，g′（x）=lnx+1−
1
x2=lnx+
x2−1
x2，可知g′（1）=0．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
∴当x＞0时，g（x）min=g（1）=1．
因此关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解的k的取值范围是[1，+∞）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 熟练掌握函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性及分离参数法是解题的关键．