题目:如图,在三角形ABC中,角A=a,三角形ABC的内角或外角平分线交于点p,角p=贝塔,试探求图1,2,3中a与贝塔的关系好,并证明你的这些结论.
(1)可以把∠A=α,作为已知,求∠P即可.根据三角形内角和定理以及外角的性质即可求解;
(2)(3)解法相同.(1)β=90°+ 12α;(2)β= 12α;(3)β=90°- 12α.
下面选择(1)进行证明.
在图(1)中,根据三角形内角和定理可得:∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∵BP与CP是△ABC的角平分线,
∴∠PBC= 12∠ABC,∠PCB= 12∠ACB,
∴∠PCB+∠PCB= 12(∠ABC+∠ACB)=90°- 12α.
在△PBC中,∠BPC=180°-(∠PCB+∠PCB)=180°-(90°- 12α)=90°+ 12α.
∴β=90°+ 12α.点评:本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的角平分线的定义.
最后一个:
∠P = 90-(1/2)∠A
∠B外角 = ∠A +∠C
∠C外角 = ∠A+ ∠B
∠B外角+∠C外角 =∠ A +∠B+∠A+∠C = ∠A +180
又因为
∠P + (1/2) ∠B外角 + (1/2) ∠C外角 = 180
∠P + (1/2)(∠B外角 + ∠C外角)= 180
∠P + (1/2)(∠A +180)= 180
∠P + (1/2)∠A +90= 180
∠P = 180-90-(1/2)∠A
∠P = 90-(1/2)∠A
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