Question

定义在R上奇函数g（x）与偶函数h（x），对任意x∈R满足g（x）+h（x）=sin2x+sinx+acosx．a为实数

Answer 1

解题思路：（1）在所给的等式中，用-x代替x，再得到一个等式，由这两个等式解方程组求得g（x）和f（x）的表达式．

（2）根据h（x）=-（cosx-[a/2]）²+

a

2

4

+1，对称轴[a/2]＞1，cosx∈[-1，[1/2]]，再利用二次函数的性质求得函数h（x）的最值．

（1）∵g（x）+h（x）=sin²x+sinx+acosx①，

∴g（-x）+h（-x）=sin²（-x）+sin（-x）+acos（-x）-g（x）+h（x）=sin²x-sinx+acosx②．

联立①②得h（x）=sin²x+acosx，g（x）=sinx．

（2）h（x）=1-cos²x+acosx=-（cosx-[a/2]）²+

a2

4+1，

若a＞2，则对称轴[a/2]＞1，且x∈[

π

3，π]时，cosx∈[-1，[1/2]]，

当cosx=-1，h（x）_min=-a，当cosx=[1/2]，h（x）_max=[a/2+

3

4]=[2a+3/4]．

点评：

本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性的应用，余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．