Question

已知f（x）是二次函数，f'（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f'（x）=f（x+1）+x2恒成立，求f（x）的解析

Answer 1

解题思路：设f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），求导可得f'（x）=2ax+b，代入f'（x）=f（x+1）+x²恒成立可得a，b，c之间的关系，可求

设f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），

则f'（x）=2ax+b，

∵f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．

由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，

∴

a+1＝0

2a+b＝2a

a+b+c＝b，解之，得a=-1，b=0，c=1，

∴f（x）=-x²+1．

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，函数导数的求解，属于基础试题