解题思路:(1)依题意,f(x+2)=f[(x+1)-1]=f(x),可判断(1);
(2)利用x∈[0,1]时,f(x)=([1/2])1-x=2x-1,可判断f(x)在区间[0,1]上为增函数,利用其周期性与偶函数的性质可判断(2);
(3)利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断(3);
(4)当x∈(3,4)时,x-4∈(-1,0),4-x∈(0,1),从而可得f(4-x)=([1/2])1-(4-x)=
(
1
2
)
x−3
,又f(x)是周期为2的偶函数,可判断(4).
(1)∵对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),
∴f(x+2)=f[(x+1)-1]=f(x),即2是f(x)的周期,(1)正确;
(2)∵x∈[0,1]时,f(x)=([1/2])1-x=2x-1为增函数,又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(x)在区间[-1,0]上单调递减,又其周期T=2,
∴f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增,(2)正确;
(3)由(2)x∈[0,1]时,f(x)=([1/2])1-x=2x-1为增函数,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,且其周期为2可知,
f(x)max=f(1)=21-1=20=1,f(x)min=f(0)=20-1=[1/2],故(3)错误;
(4)当x∈(3,4)时,x-4∈(-1,0),4-x∈(0,1),
∴f(4-x)=([1/2])1-(4-x)=(
1
2)x−3,又f(x)是周期为2的偶函数,
∴f(4-x)=f(x)=(
1
2)x−3,(4)正确.
综上所述,正确的命题的序号是(1)(2)(4),
故答案为:(1)(2)(4).
点评:
本题考点: 命题的真假判断与应用.
考点点评: 本题考查命题的真假判断与应用,综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用,属于难题.