设f(x)是定义在R上的偶函数,且对于∀x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当X∈[0,1]时,f(x)=([1/

1个回答

  • 解题思路:(1)依题意,f(x+2)=f[(x+1)-1]=f(x),可判断(1);

    (2)利用x∈[0,1]时,f(x)=([1/2])1-x=2x-1,可判断f(x)在区间[0,1]上为增函数,利用其周期性与偶函数的性质可判断(2);

    (3)利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断(3);

    (4)当x∈(3,4)时,x-4∈(-1,0),4-x∈(0,1),从而可得f(4-x)=([1/2])1-(4-x)=

    (

    1

    2

    )

    x−3

    ,又f(x)是周期为2的偶函数,可判断(4).

    (1)∵对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),

    ∴f(x+2)=f[(x+1)-1]=f(x),即2是f(x)的周期,(1)正确;

    (2)∵x∈[0,1]时,f(x)=([1/2])1-x=2x-1为增函数,又f(x)是定义在R上的偶函数,

    ∴f(x)在区间[-1,0]上单调递减,又其周期T=2,

    ∴f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增,(2)正确;

    (3)由(2)x∈[0,1]时,f(x)=([1/2])1-x=2x-1为增函数,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,且其周期为2可知,

    f(x)max=f(1)=21-1=20=1,f(x)min=f(0)=20-1=[1/2],故(3)错误;

    (4)当x∈(3,4)时,x-4∈(-1,0),4-x∈(0,1),

    ∴f(4-x)=([1/2])1-(4-x)=(

    1

    2)x−3,又f(x)是周期为2的偶函数,

    ∴f(4-x)=f(x)=(

    1

    2)x−3,(4)正确.

    综上所述,正确的命题的序号是(1)(2)(4),

    故答案为:(1)(2)(4).

    点评:

    本题考点: 命题的真假判断与应用.

    考点点评: 本题考查命题的真假判断与应用,综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用,属于难题.