Question

如图，已知点P为椭圆x225+y29＝1在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作与y轴和x轴的平行线交于

Answer 1

解题思路：根据椭圆方程设P（5cosθ，3sinθ），得到|PN|、|PM|关于θ的式子，从而得到矩形PMCN的面积S₁关于θ的式子．根据P点坐标和三角形相似的知识，分别算出D、E坐标关于θ的式子，从而得到|DP|、|EP|关于θ的式子，算出△PDE的面积S₂关于θ的式子，将S₁的式子与S₂式子加以对比，即可得到S₁：S₂的值．

根据椭圆方程

x2

25+

y2

9＝1，设P（5cosθ，3sinθ），

∵P是椭圆第一象限内的点，∴θ∈(0，

π

2)，

由此可得：|PN|=5-5cosθ，|PM|=3-3sinθ，

∴矩形PMCN的面积S₁=|PM|•|PN|=15（1-cosθ）（1-sinθ）．

设D（m，n），

∵DP∥x轴，∴n=3sinθ，可得m=5（1-sinθ），

因此，|PD|=5cosθ-5（1-sinθ）=5（sinθ+cosθ-1）．

同理，求得|PE|=3（sinθ+cosθ-1）

∴△PDE的面积S₂=[1/2]|PD|•|PE|=[1/2]×5（sinθ+cosθ-1）×3（sinθ+cosθ-1）=[15/2]（sinθ+cosθ-1）²

∵（sinθ+cosθ-1）²=sin²θ+cos²θ+1+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ=2（1-sinθ-cosθ+sinθcosθ）

∴S₂=[15/2]（sinθ+cosθ-1）²=15（1-sinθ-cosθ+sinθcosθ）=15（1-cosθ）（1-sinθ）

由此可得，S₁=S₂，即得S₁：S₂=1

故答案为：1

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题给出由椭圆生成的矩形PMCN的面积S1和△PDE的面积S2，求S1：S2的值．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．