椭圆x2/a2+y2/b2+1的左右焦点分别为F1F2,短轴两个端点为AB 且四边形F1AF2B是边长为2的正方形

2个回答

  • 1、因为四边形F1AF2B是边长为2的正方形

    所以c=√2 b=√2

    a=2

    得到椭圆方程为

    x^2/4+y^2/2=1

    2、设向量OM(2,b)

    向量OC=(2,b)

    MC的直线方程为y=k(x+2)

    代入M(2,b) 得到k=b/4

    即直线方程为y=b(x+2)/4

    或写成4y/b=x+2

    将两个解析式分别与椭圆方程联立,得到

    (1+b^2/8)x^2+b^2x/2+b^2/2-4=0

    根据韦达定理 x1x2=(4b^2-32)/(8+b^2)

    已知x1=-2即C的横坐标,所以P的横坐标为(16-2b^2)/(8+b^2)

    同理P的纵坐标为16b^2/(16b+2b^3)

    所以向量OM与向量OP的乘积为

    2*(16-2b^2)/(8+b^2)+b*16b^2/(16b+2b^3)

    =(32+4b^2)/(8+b^2)=4

    3、设Q(a,0)

    因为要使以MP为直径的园恒过直线DP MQ的交点

    所以PD垂直于MQ,即两者向量之积为0

    OM(2,b) OP[(16-2b^2)/(8+b^2),16b^2/(16b+2b^3)]

    可以得到

    DP=[-4b^2/(8+b^2),8b/(8+b^2)]

    MQ=(a-2,-b)

    -4(a-2)b^2/(8+b^2)-8b^2/(8+b^2)=0

    a=0

    Q(0,0)

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