Question

（2014•广西）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（[π/6]，[π/2]）是减函数，则a的取值范围是___

Answer 1

解题思路：利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．

由f（x）=cos2x+asinx

=-2sin²x+asinx+1，

令t=sinx，

则原函数化为y=-2t²+at+1．

∵x∈（[π/6]，[π/2]）时f（x）为减函数，

则y=-2t²+at+1在t∈（[1/2]，1）上为减函数，

∵y=-2t²+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=[a/4]．

∴[a/4≤

1

2]，解得：a≤2．

∴a的取值范围是（-∞，2]．

故答案为：（-∞，2]．

点评：

本题考点： 复合三角函数的单调性．

考点点评： 本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．