Question

过双曲线2x2-y2=1上一点A（1，1）作两条动弦AB，AC，且直线AB，AC的斜率的乘积为3．

Answer 1

解题思路：（1）分类讨论，利用直线AB，AC的斜率的乘积为3，即可求得结论；

（2）令BC：y=kx+b，代入双曲线方程，得出k+5b+1=0，所以

−

1

5

＝k•

1

5

+b

，因此直线BC过定点M

(

1

5

，−

1

5

)

，直线y=-[1/5]也过定点，从而可得结论．

（1）令B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．

当BC与x轴垂直时，有x₁=x₂，y₁=-y₂，

故：3=

y1−1

x1−1•

−y1−1

x1−1＝

1−

y21

(x1−1)2＝

2(1−

x21)

(1−x1)2＝

2(1+x1)

1−x1

∴x₁=[1/5]，与|x₁|≥

2

2矛盾，因此BC不与x轴垂直..（3分）

当BC与y轴垂直时，有x₁=-x₂，y₁=y₂，

故：3=

y1−1

x1−1•

y1−1

−x1−1＝

(1−y1

)2

1−

x21＝

2(1−y1)2

1−

y21＝

2(1−y1)

1+y1

∴y₁=-[1/5]，因此BC可与y轴垂直，此时BC的方程为y=-[1/5]．（5分）

（2）证明：当BC不与坐标轴垂直时，k_AB•k_AC=

y1−1

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；直线的一般式方程与直线的垂直关系．

考点点评： 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生的计算能力，难度较大．