OP=t，PB=6-t，BQ=2t，
（1）当PQ∥OA，四边形OPQA是梯形，
∴BP：BO=BQ：BA，即（6-t）：6=2t：12，
∴t=3，
∴PB=3，BQ=6，
∴梯形OPQA的面积=△OAB的面积-△PBQ的面积=[1/2]×6×12-[1/2]×3×6=27，
所以当t=3时，四边形OPQA是梯形，此时梯形OPQA的面积为27；
（2）当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△BPQ∽Rt△BOA，
由（1）得t=3，
当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，
∴BP：BA=BQ：BO，即（6-t）：12=2t：6，
∴t=[6/5]，
所以当t=[6/5]秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB相似；
（3）存在．
y=S△OAB-S△BPQ=[1/2]×6×12-[1/2]×2t×（6-t）
=t2-6t+36
=（t-3）2+27，
∵a=1，
∴t=3时，y有最小值27，
所以当t=3秒时，四边形OPQA的面积最小；
（4）存在．
当E在y轴的负半轴上时，以B、Q、E、P为顶点不能形成四边形，
则点E在y轴的正半轴上时，
设E（0，m），
所以以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形BQEO的面积-△OPE的面积=[1/2]×6×（m+2t）-[1/2]×m×t
=（6-[1/2]m）t+3m，
当以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数，则6-[1/2]m=0，解得m=12，
所以点E的坐标为（0，12）．