解题思路：①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
③AB上找到Q点使得AQ=OA，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ，即可解题；
④作CH⊥CD，可证△CDO≌△CHP和RT△ABD≌RT△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．
如图，
①连接OB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①正确；
②∵△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，
在△BQO和△PAO中，
∠BQO＝∠PAO
∠ABO＝∠APO
OB＝OP，
∴△BQO≌△PAO（AAS），
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC=AO+AP，故③正确；
④作CH⊥CD，
∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
∠ODC＝∠PHC＝90°
∠OCD＝∠PCH
OC＝CP(等边三角形边长相等)，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD=S△CHP
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在RT△ABD和RT△ACH中，
AB＝AC
BD＝CH，
∴RT△ABD≌RT△ACH（HL），
∴S△ABD=S△AHC，
∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④正确．
故选 D．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
考点点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BQO≌△PAO是解题的关键．