解题思路：不妨考虑c，当c=0时，运用重要不等式a2+b2≥2ab，求得最大值；再由当c≠0时，3ab-3bc+2c2=
3ab-3bc+2
c
2
a
2
+
b
2
+
c
2
，
分子分母同除以c2，设x=
a/c]，y=[b/c]，再整理成二次方程，由于x为实数，运用判别式大于等于0，再由y为实数，判别式小于等于0，即可解得所求的范围，进而得到最大值．
不妨考虑c，当c=0时，有3ab-3bc+2c2=3ab≤
3(a2+b2)
4=[3/4]，
当c≠0时，3ab-3bc+2c2=
3ab-3bc+2c2
a2+b2+c2=
3•
a
c•
b
c-3•
b
c+2
(
a
c)2+(
b
c)2+1，
设x=[a/c]，y=[b/c]，则可令M=3ab-3bc+2c2=[3xy-3y+2
x2+y2+1，
即有Mx2-3xy+My2+M+3y-2=0，
由于x为实数，则有判别式△1=9y2-4M（My2+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M2）y2-12My-4M（M-2）≥0，
由于y为实数，则△2=144M2+16M（9-4M2）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M2+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，则M＞0，则M≤3．
故答案为：3．
点评：
本题考点： 柯西不等式在函数极值中的应用
考点点评： 本题考查重要不等式的运用：求最值，考查换元法转化为二次函数和二次方程有实根的条件，考查不等式的解法，属于压轴题和易错题．
1年前
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