Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．

Answer 1

解题思路：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=[1/e]，因此f（x）在

(0，

1

e

)

上递减，在

(

1

e

，+∞)

上递增．再对t与[1/2e]，[1/e]的大小关系分类讨论即可得出；

（2）y=f（x）+g（x）=xlnx-x²+ax-2，则y′=lnx-2x+1+a．由题意可得：y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），

即a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），等价于直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点．利用导数研究函数G（x）的单调性极值与最值即可得出．

（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=1e，∴f（x）在(0，1e)上递减，在(1e，+∞)上递增．（i）当0＜t≤12e时，函数f（x）在[t，2t]上递减；（ii）当12e＜t＜1e时，函数f（x）在[t，1e]上递减，在[1e，2t]上递增；（iii）...

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分离参数方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．