Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C 1 ：（x-3） 2 +（y+2） 2 =4，圆C 2 ：（x+m） 2 +（y+m

Answer 1

（1）由题设条件，圆C ₁的圆心坐标（3，-2），半径为2，圆C ₂的圆心坐标（-m，-m-5），半径为

2m 2 +8m+10

∵过点P分别作圆C ₁与圆C ₂的一条切线，切点分别为T ₁、T ₂，使得PT ₁=PT ₂，

∴PC ₁ ²-4=PC ₂ ²-（2m ²+8m+10）

若点P在X轴上，设P（x，0），将P（x，0）及圆心的坐标代入整理得（2m-6）x=-2m+6，故x=-1，

即P（-1，0）

若点P在Y轴上，可设P（0，y），同理解得y=-1，即P（0，-1）

故满足条件的点P的坐标为（-1，0）或（0，-1）

（2）若斜率为正数的直线l平分圆C ₁，可得此直线过定点（3，-2），

设此直线的方程为y+2=k（x-3），整理得kx-y-3k-2=0

圆C ₂的圆心到此直线的距离为d=

|-mk+m+5-3k-2|

1+ k 2 =

|(1-k)(m+3)|

1+ k 2

由于d ²-r ²=

(1-2k+ k 2 )(m+3) 2

1+ k 2 -（2m ²+8m+10）

=

(1-2k+ k 2 )(m+3) 2 -(1+ k 2 )(2m 2 +8m+10)

1+ k 2

=-m ²-2m-1-

2k

1+ k 2 （m+3） ²

=-（m+1） ²-

2k

1+ k 2 （m+3） ²＜0 （∵k＞0）

可得在d＜r，即直线l与圆C ₂总相交