Question

1、已知：在锐角△ABC中,∠ACB=2∠ABC,点D是BC边上一点,且∠ABC=2∠BAD,求证：1/BD=1/AC+

Answer 1

1.作直线DE交AB于点E,其中∠EDA=∠DAE,连接CE；

则BD=DE=AE,∠ACD=∠CDE,由共边定理得S△ACD/S△CDE=AB/BE

再由共角定理得S△ACD/S△CDE=AC*CD/CD*DE=AC/DE=AC/BD

所以AB/BE=AC/BD,AC*BE=AB*BD,AC*(AB-BD)=AB*BD,

AC*AB-AC*BD=AB*BD,AC*AB=AC*BD+AB*BD=BD(AC+AB),1/BD=(AC+AB)/(AC*AB)

所以1/BD=1/AC+1/AB

2.因为BE//CP,CF//BP,

所以S△PBF=S△BPC,S△PCE=S△BPC

所以S△PBF=S△PCE

由角平分线性质S△PBF/S△PCE=BF/CE=1

所以BF=CE