解题思路：（1）f（x）≥1⇔x2+2ax+2a≥0对任意x∈R恒成立，据二次函数性质有△≤0，解出即可；
（2）f（x）=（x+a）2-a2+2a+1，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=-a，按对称轴x=-a与区间[0，1]的位置关键分三种情况讨论即可；
（3）|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立等价于f（x）max-f（x）min≤1，由（2）分情况求得其最大值、最小值即可得一不等式，解出即得a的范围．
（1）f（x）≥1⇔x2+2ax+2a≥0对任意x∈R恒成立，
∴△=4a2-8a≤0，解得0≤a≤2，
∴a的范围是[0，2]；
（2）f（x）=（x+a）2-a2+2a+1，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=-a，
讨论：①当-a≤0即a≥0时，f（x）在区间[0，1]上单调递增；
②当0＜-a＜1即-1＜a＜0时，f（x）在区间[0，-a]上单调递减，在区间[-a，1]上单调递增；
③当-a≥1即a≤-1时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．
（3）由题意知，|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立等价于f（x）max-f（x）min≤1，
f（0）=2a+1，f（1）=4a+2，f（-a）=-a2+2a+1，
由（2），
a≥0
f(1)−f(0)≤1或
−1＜a＜0
f(1)−f(−a)≤1或f(0)−f(−a)≤1或
a≤−1
f(0)−f(1)≤1，
解得-1≤a≤0．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；二次函数的性质．
考点点评： 本题考查二次函数的性质及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，对于函数恒成立问题，往往转化为函数最值问题加以解决，属中档题．