Question

在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=AC=AA 1 =3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C 1 C上

Answer 1

（1）

证明：∵AB=AC，D为BC中点∴AD⊥BC，

又直三棱柱中：BB ₁⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，

∴AD⊥BB ₁，

∴AD⊥平面BCC ₁B ₁，

∵B ₁F⊂平面BCC ₁B ₁

∴AD⊥B ₁F．

在矩形BCC ₁B ₁中：C ₁F=CD=a，CF=C ₁B ₁=2a

∴Rt△DCF≌Rt△FC ₁B ₁，

∴∠CFD=∠C ₁B ₁F

∴∠B ₁FD=90°，即B ₁F⊥FD，

∵AD∩FD=D，

∴B ₁F⊥平面AFD；

（2）∵AD⊥平面BCC ₁B ₁

∴ V D-A B 1 F = V A- B 1 DF =

1

3 • S △ B 1 DF •AD

=

1

3 ×

1

2 B 1 F•FD×AD=

5

2 a 3

3 ；

（3）当AE=2a时，BE ∥ 平面ADF．

证明：连EF，EC，设EC∩AF=M，连DM，

∵AE=CF=2a

∴AEFC为矩形，

∴M为EC中点，

∵D为BC中点，

∴MD ∥ BE，

∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF

∴BE ∥ 平面ADF．