Question

方程2x^2+9xy+10y^2-7x-15y+k=0表示两条直线,那么它们的交点满足 4x+9y-7=0 ,9x+20

Answer 1

二次方程表示两条直线,那它就是退化的双曲线,

因此左边能分解成两个二元一次多项式的积.

分别对 x、y 求导数,得 4x+9y-7=0 和 9x+20y-15=0 ,

联立解得 x = -5 ,y = 3 ,

这说明退化双曲线的中心为（-5,3）,这也是两直线的交点,

代入可求得 k=5 ,

那么原方程就可以分解为 (2x+5y-5)(x+2y-1)=0 ,

因此它表示两直线 2x+5y-5=0 和 x+2y-1=0 .