Question

设抛物线方程为y²=2px（p>0),过焦点F的弦AB的倾斜角为α，求证：焦点弦长为AB（绝对值）=2p/si

Answer 1

【注：我用参数法,不知能否看懂】（一）当α=90²时,显然A(p/2,p),B(p/2,-p),|AB|=2p=2p/sin²90º=2p/sin²α.故此时命题正确.（二）当α≠90º时,可设点A(2pa²,2pa),B(2pb²,2pb).又焦点F(p/2,0),准线x=-p/2,(1)由直线斜率公式得tanα=1/(a+b).(2)由A,F,B三点共线可得4ab=-1.(3)由抛物线定义可知,|AB|=|AF|+|BF|=[2pa²+(p/2)]+[2pb²+(p/2)]=2p(a²+b²)+p=2p(a+b)²+(1-4ab)p=2p[(a+b)²+1].∴|AB|=2p[(a+b)²+1]=2p[(1/tan²α)+1]=2p[(cos²α/sin²α)+1]=2p/sin²α.∴|AB|=2p/sin²α.综上可知,|AB|=2p/sin²α.