解题思路:(Ⅰ)求函数f(x)的导数f′(x),计算f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线斜率k,由切线方程为4x-y+5=0,得k=f′(-1)=4a+8.求解即可.
(Ⅱ)由f′(x)=6x2-2(a+2)x+2(a-1)=2(x-1)(3x-a+1),得令f′(x)=0,有x=1,或x=a-1.讨论1与a-1的大小,求出f(x)的最小值,由f(x)min≥0可解得实数a的取值范围.
(Ⅰ)∵函数f(x)=2x3-(a+2)x2+2(a-1)x(a∈R),
∴f′(x)=6x2-2(a+2)x+2(a-1),
∵函数y=f(x)在x=-1处的切线方程为4x-y+5=0,
∴f′(-1)=4,
即6+(a+2)+2(a-1)=4,
解得,a=-1;
(Ⅱ)∵f′(x)=6x2-2(a+2)x+2(a-1)
=2(x-1)(3x-a+1),
∴令f′(x)=0,有x=1,或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,x∈[0,3],f(x)的最小值在x=0,或x=1处取得,
∴不等式f(x)≥0恒成立等价于,
f(0)≥0
f(1)≥0,即2-(a+2)+2(a-1)≥0,
解得a=2,
当1<a-1<3,即2<a<4时,x∈[0,3],f(x)的最小值在x=0,或x=a-1处取得,
∴不等式f(x)≥0恒成立等价于,
f(0)≥0
f(a−1)≥0,即2(a-1)3-(a+2)(a-1)2+2(a-1)(a-1)≥0,
解得2<a<4,
当a-1≥3,即a≥4时,x∈[0,3],f(x)的最小值在x=0,或x=3处取得,
∴不等式f(x)≥0恒成立等价于,
f(0)≥0
f(3)≥0,即54-9a-18+6a-6≥0,
解得4≤a≤10,
综上所述,实数a的取值范围是[2,10]
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题考查利用导数的几何意义求切线斜率,以及利用导数研究函数的极值、最值,考查恒成立问题,考查转化为思想.属于难题