Question

证明数集Z（根号3）={a+b倍根号3|a,b属于Z} 不是数域

Answer 1

Z表示a和b是在整数集中取值,一般把a+b√q构成的集合就记作Z(√q),这只是一个记号而已,没什么特殊的意义,括号前的大写字母就表示a,b在什么集合里取值,例如如果a,b是有理数,就记为Q(√3).数域要求对四则运算封笔,即两个属于该数域的数,经过加减乘除后仍属于这个数域.要证明不是数域,只需举反例即可.容易验证这个集合关于加减乘是封闭的,现在来考察除法,取集合里的两个数,a+b√3,a-b√3,相除得(a+b√3)/(a-b√3),分母有理化得(a^2+3b^2+2√3ab)/(a^2-3b^2)=(a^2+3b^2)/(a^2-3b^2)+[2ab/(a^2-3b^2)]√3,容易看出(a^2+3b^2)/(a^2-3b^2)和2ab/(a^2-3b^2都不一定是整数,因此这个集合对除法不封闭,从而不构成数域.