答案：C.
设此单位向量的坐标为e(x,y).
∵ 向量a∥单位向量e,∴12y-5x=0 (1).
单位向量的模|e|=√(x^2+y^2)=1.x^2+y^2=1 (2).
由(1)得：x=12y/5,将x值代人(2),得：(12y/5)^2+y^2=1.
144y^2+25y^2=25,
169y^2=25,
y^2=25/169.
y=±5/13,
x=12(±5/13)/5.
=±12/13,
∴所求单位向量e的坐标为：e=(12/13,5/13)或e=(-12/13,-5/13).
∴选C.