α∥β,直线AB交α,β于A,B,直线CD交α,β于C,D,M,N分别在AB,CD上,且AM/MB=CN/ND,求证MN

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  • 分别作A、C、M、N到平面β的垂线,垂足分别为A'、C'、M'、N‘;

    则有:AA'∥CC'∥MM'∥NN';

    可得:AA'/MM' = AB/MB ,CC'/NN' = CD/ND ;

    已知,α∥β ,则AA'和CC'都是α、β两平行平面之间的距离,

    可得:AA' = CC' ;

    已知,AM/MB = CN/ND ,

    可得:(AM+MB)/MB = (CN+ND)/ND ,

    即有:AB/MB = CD/ND ,

    可得:AA'/MM' = AB/MB = CD/ND = CC'/NN' ;

    因为,MM' = NN'(AA'/CC') = NN' ,即M、N到平面β的距离相等,

    所以,MN∥平面β.