证明：（1）∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC=∠BDE=60°，
∴BC∥DE，
∴∠BCF=∠DEF，
又∵∠F=∠F，
∴△BCF∽△DEF；
（2）连接OB，∵⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是等边三角形，
∴O也是△ABC的内心，
∴OB是∠ABC的平分线，∠ABO=[1/2]∠ABC=30°，
∴∠EBO=180°-（∠ABO+∠DBE）=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线；
（3）由（1）BC∥DE得：
[DF/BF＝
DE
BC＝
1
2]，
所以DF=DB=DE，
所以∠F=∠DEF=∠BCE=30°，
连接OC、OG，与（2）同理得∠OCB=30°，
所以∠OCG=60°，
从而∠COG=60°，∠CBG=[1/2]COG=30°，
在△EBC中，∠BCE=30°，∠CBE=60°，∠CEB=90°，
tan60°=[CE/BE]=
3，
所以CE＝
3BE，
同理在△EBG中，∠EBG=60°-30°=30°，∠GEB=90°，
tan30°=[GE/BE]，
所以EG＝
3
3BE，
所以CE=3EG，
从而[EG/CG＝
1
2]．