Question

（2014•福建模拟）设向量a=（a1，a2），b=（b1，b2），定义一种向量积a⊗b=（a1，a2）⊗（b1，b2）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）直接根据所给新运算进行化简即可；

（Ⅱ）利用向量的相等，得到x₀，y₀与x，y之间的关系，然后建立关系式即可；

（Ⅲ）根据（Ⅱ），结合三角函数的图象与性质，分类讨论，确定零点的个数．

（Ⅰ）∵向量

m=（2，

1

2），

OP=（x₀，y₀），

∵点P（x₀，y₀）为y=sinx的图象上的动点，

∴y₀=sinx₀，

∴

m⊗

OP=（2x₀，

1

2y₀）=（2x₀，

1

2sinx₀）

（Ⅱ）∵

OQ=

m⊗

OP+

n

所以(x ， y)＝(2x0 ，

1

2sinx0)+(

π

3，0)＝(2x0+

π

3 ，

1

2sinx0)，

因此

x＝2x0+

π

3

y＝

1

2sinx0即

x0＝

x−

π

3

2

sinx0＝2y，

所以y＝f(x)＝

1

2sin(

1

2x−

π

6)，它的周期为4π．

（Ⅲ）g(x)＝

1

2sin(2x−

π

6)在[0，

π

3]上单调递增，在[

π

3，

π

2]上单调递减，

又g(0)＝−

1

4 ， g(

π

3)＝

1

2 ， g(

π

2)＝

1

4，

当t＝

1

2或−

1

4≤t＜

1

4时，函数h（x）在区间[0，

π

2]内只有一个零点；

当

1

4≤t＜

1

2时，函数h（x）在区间[0，

π

2]内有两个零点；

当t＜-

1

4或t＞

1

4时，函数h（x）在区间[0，

π

2]内没有零点．

点评：

本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题综合考查向量的基本运算，三角函数的图象与性质，函数的零点等知识，属于中档题．