设O是△ABC内一点,且满足向量OA+2向量OB+3向量OC=0,求△ABC与△AOC的面积之比

1个回答

  • 设∠AOC=Φ1,∠BOC=Φ2

    由OA+2向量OB+3向量OC=0可知,OA和2倍OB的合向量与3倍OC向量等值反方向

    根据平行四边形法则作向量OA,2倍OB的和是向量OC'

    在△AOC'中,根据正弦定理

    |OA|/sin(PAI-Φ2)=2|OB|/sin(PAI-Φ1)=|OC'|/sin[PAI-(PAI-Φ2)-(PAI-Φ1)]

    |OA|/sinΦ2=2|OB|/sinΦ1=-|OC'|/sin(Φ2+Φ1)

    |OA|/sinΦ2=|OB|/[(1/2)sinΦ1]=|OC|/[-(1/3)sin(Φ2+Φ1)].①

    ∴S△ABC:S△AOC=(S△AOB+S△BOC+S△AOC):S△AOC

    =[|OA|*|OB|sin(Φ2+Φ1)/2+|OB|*|OC|sinΦ2/2+S△AOC]:(|OA|*|OC|sinΦ1/2)

    =|[(|OB|sin(Φ2+Φ1)/2):(|OC|sinΦ1/2)]|+|[(|OB|sinΦ2/2):(|OA|sinΦ1/2)]|+1.②

    将①中求得的|OB|:|OC|和|OB|:|OA|代入②中,可求得

    S△ABC:S△AOC=|-3/2|+1/2+1=3(面积比不能是负数,要求绝对值)