若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+

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  • 解题思路:对一切x,y>0满足f(x)+f(y)=f(x•y)将不等式f(x+6)+f(x)≤2f(4)⇔则不等式f[x(x+6)]≤f(16)再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式即可.

    ∵对一切x,y>0满足f(x)+f(y)=f(x•y),

    ∴2f(4)=f(4)+f(4)=f(16)

    ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,

    ∴则不等式f(x+6)+f(x)≤2f(4)⇔则不等式f[x(x+6)]≤f(16)

    x+6>0

    x>0

    (x+6)•x≤16⇔⇔0<x≤2

    则不等式f(x+6)+f(x)≤2f(4)的解集{x|0<x≤2}

    故答案为;{x|0<x≤2}.

    点评:

    本题考点: 抽象函数及其应用.

    考点点评: 赋值法是解决抽象函数常用的方法.抽象函数是以具体函数为背景的,“任意x>0,y>0时,f(x)+f(y)=f(xy)”的背景函数是f(x)=logax(a>0),我们可以构造背景函数来帮助分析解题思路.